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八、增 补
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（一） 文献[1]的原文
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| §1. 引力论普遍公式 设有两个质点A
和B
（图12），沿连线方向有力相互作用，力与质量成正比，与距离的某一函数f(r)
成正比。如果把这两个质点叫作m和m′，相互作用力叫做P，那么这个力的表达式就是 |
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(45) |
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| 其中μ是一个比例因子。相互作用的力可以是引力或者是斥力，由P的符号指出。 |
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| 设有连续的物体M
（图13），吸引质量为1的一个质点m
，引力与物体内各质点的质量以及距离的某一函数f(x)成正比。为求出这物体对质点所作用的力，进行如下。用与坐标平面平行的平面，把整个物体分成许多无限小的正六面体，先求每一个正六面体的质量对质点所作用的力，然后求所有这些力的合力，这些力显然是有合力的，因为它们都作用在一个质点上。 |
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| 把点m
的坐标叫作x,y,z,把无限小正六面体m′的坐标叫做ξ，η，ζ，质量m′用体积与体积密度的乘积来表示： |
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| 质点m′（即无限小正六面体）对质点m
引力就是： |
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| （因为我们取m=1
）。把这个式子分别乘以力与各坐标轴夹角的余弦，就得出这个力沿各坐标轴方向的分量。把吸引点的各坐标分别减去被吸引点的各个对应坐标，再把所得的差除以两点之间的距离，我们就得到各夹角的余弦。所以，如果由点A(x
，y
，z)
吸引（图14），则cos(P,x)是正的，并且从直角三角形ABC
有 |
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| 而如果由点B
(ξ，η，ζ)
吸引，则cos(P′,x）就是负的，并且有
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于是力dP
沿各坐标轴的分量就是： |
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| 整个物体的引力沿各坐标轴的分量用这些式子的三重积分来表示，积分须遍及全数各正六面体： |
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(46) |
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| 公式（46）是根据引力推导出来的：如果是引力，结果还是一样，不过符号相反。 |
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§2.物体作用于质点的引力的势函数【定理】 如果有任意一个物体相互作用一个质点，那么引力具有力函数，即引力的分量恒为坐标的某一函数对某各坐标的偏导数。
我们取质点位在物体外部的情形来证明这个定理，在这种情形下，r决不等于零。令 |
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| 取函数Φ(r)对坐标x,y,z的偏导数，这时侯我们用坐标来表示r: |
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| 于是x
的偏导数就等于 |
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| 利用这个式子，公式（48）中分量X
的表达式可以写成： |
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| 容易看出，函数 |
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| 对点m的坐标x,y,z偏导数就等于力的分量。事实上，把U对x的微分： |
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| 这就得出了表示分力X
的那个公式，由此可见 |
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所以，不管引力定律是怎样的，引力恒有力函数。
只在被吸引点位于吸引物体之外这种情形下，我们才能认为这定理已经证明了。如果质点位于物体的里面，那么对于与质点毗连的各元，公式（46）里及U的表达式里的被积函数，可能趋于无限大（当力与距离的正幂次方成正比的时候），在这种情形下的积分，必须另外考虑。
我们来指出，在引力的某些情形下，力函数U的形式。如果力正比于距离f(r)=r，我们有： |
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| 而力函数就表示成这样： |
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（47） |
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| 对牛顿引力，即距离平方成反比的引力 |
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| 我们就有 |
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| 而力函数就表示成这样： |
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（48） |
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§3. 与距离成正比的引力 公式（46）里的体积分，在大多数的引力规律f(r)的情形下，都是相当繁杂的过程，而物体形状愈复杂，积分过程也就愈复杂。但是有一个引力规律，使积分与物体形状无关，这个定律就是，引力正比于距离，因而f(r)=r 。
如果在公式（46）中X
的表达式里用r代替f(r)，那么这个分量的表达式就化成： |
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| 把右边分解成两个积分，并且注意到x
与变量ξ,η,ζ无关，X的表达式就成为： |
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| 我们知道， |
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| 其中M
为吸引物体的质量而 ξ
是重心的坐标；因此
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| 这就是表示质量M
的物体对质量等于1
的质点的引力分量的公式。引力本身的表达式为： |
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(49) |
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| 其中R为质点至吸引物体重心的距离。因此这个力与坐标轴夹角的余弦就等于： |
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| 如果我们设想这物体全部质量集中于重心C
（ξ，η，ζ）（图13），那么当这个点（重心）对所给质点m依同一规律吸引时，它的引力就恰好是（m=1） |
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P=
μMR
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由此推得：
【定理】 当力与距离成正比时，不管物体具有怎样的形状，物体对一个质点的吸引，就正如物体全部质量集中于在重心依同一规律吸引这个质点一样*。 |
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